miércoles, 18 de septiembre de 2013

Solución problema número doce

La estrategia que vamos a usar será considerar el caso extremo en el que $z$ toma cualquier valor natural y $x=y=z-1$, por comodidad vamos a llamar $k=z-1\in \mathbb{N}$ (¿excluimos el valor $z=1$?).


Metiendo nuestros datos en la ecuación obtenemos lo siguiente,
$$(k+1)^n=2k^n\Rightarrow 2=(\frac{k+1}{k})^n=(1+\frac{1}{k})^n$$
además sabemos que $n=k+m$, por tanto,
$$2=(1+\frac{1}{k})^k(1+\frac{1}{k})^m$$
y como,
$$(1+\frac{1}{k})^k>2\text{ y }(1+\frac{1}{k})^m>1\Rightarrow (1+\frac{1}{k})^n>2$$
esto implica, volviendo hacía atrás, que $z^n>x^n+y^n$. Por lo tanto no pueden existir tales números, ya que si escogiésemos otro par $(x,y)$ tendrían que ser necesariamente, al menos uno de ellos, menores que los anteriores ya que hemos considerado el caso extremo,  por tanto la suma sería todavía menor.

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