Pintar el plano

Supongamos que pintamos cada punto del plano de un color, no necesariamente distinto. Lo que vamos a intentar responder aquí es: ¿cuántos colores distintos podemos usar para poder asegurar que para cada número real $\alpha$ existe un segmento de longitud $\alpha$ con los extremos del mismo color?

Claramente si usamos únicamente un color se verifica el  enunciado, ya que cualquier segmento tiene los extremos del mismo color y hay segmentos de todas las medidas posibles.

Usando dos colores (rojo y verde, por ejemplo) la respuesta sigue siendo afirmativa, la demostración es bastante sencilla. Sea $\alpha$ un número real arbitrario, supongamos que existe un punto $P$ de color rojo tal que para todo punto $Q$ que diste $\alpha$ de $P$, $Q$ es verde, es decir, la circunferencia de centro $P$ y radio $\alpha$ es verde, en ese caso podemos escoger una cuerda de esta de tamaño $\alpha$ la cual tiene ambos extremos del mismo color ($AQ$ en la figura 1), basta dibujar un triángulo equilátero de base $PQ$.

                                                                                      Figura 1

Si usamos tres colores (digamos rojo, verde y azul) el resultado sigue siendo cierto, aunque la prueba se complica ligeramente. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$, sea $P$ un punto, supongamos que es rojo y que no hay ningún segmento de tamaño $\alpha$ con uno de sus extremos el punto $P$ y el otro extremo rojo, es decir, la circunferencia de centro $P$ y radio $\alpha$ solo contiene puntos verdes y azules. Trazamos ahora un triángulo equilátero de radio $\alpha$ siendo $P$ uno de sus vértices, se tiene entonces que los otros dos vértices $Q$ y $Q'$ no son rojos, ya que están contenidos en la circunferencia antes mencionada. Vamos a suponer, además, que estos dos son de colores distintos, de lo contrario ya habríamos encontrado un segmento de longitud $\alpha$ con los extremos iguales, así que uno es verde y el otro azul. Trazamos ahora el otro triángulo equilátero con base $QQ'$, hemos de suponer que el tercer vértice $A$ es rojo, de lo contrario $QA$ o $Q'A$ serían el segmento buscado. De aquí deducimos que la circunferencia de centro $P$ y radio la distancia entre $P$ y $A$ es roja, así que basta escoger una cuerda de tamaño $\alpha$ dentro de esta circunferencia.

                                                                                            Figura 2

En principio no se observan en las demostraciones similitudes que nos permitan llegar a una demostración general para el caso en el que usemos $n$ colores, de hecho, para $n>2$ es un problema abierto.